题目内容

已知椭圆C的方程为
y2
4
+
x2
2
=1，直线 l与椭圆交于A、B两点，点P(-1，
1
2
)为弦AB的中点，求直线l的方程．
分析：设直线l的斜率为k．设点A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程得
y
2
1
4
+
x
2
1
2
=1，
y
2
2
4
+
x
2
2
2
=1．利用“点差法”即可得出．
解答：解：当直线l的斜率不存在时不符合题意．设直线l的斜率为k．
设点A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程得
y
2
1
4
+
x
2
1
2
=1，
y
2
2
4
+
x
2
2
2
=1．
两式相减得
(y1+y2)(y1-y2)
4
+
(x1+x2)(x1-x2)
2
=0．
∵点P(-1，
1
2
)为弦AB的中点，∴-1=
x1+x2
2
，
1
2
=
y1+y2
2
．
又
y1-y2
x1-x2
=k，∴
k
4
+
-2
2
=0，解得k=4．
∴直线l的方程为y-
1
2
=4(x+1)，化为8x-2y+9=0．
点评：本题考查了直线与椭圆相交的“中点弦”问题、“点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线l： y=-
3
3
x被圆A和圆B截得的弦长之比为
15
6
；
（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为
3
4
；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（＞b＞0），将圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆称为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1．
（Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
AB
•
AD
的取值范围．
（2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），过其左焦点F1（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
与
a
=（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-
1
2
=0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．
（2012•衡阳模拟）已知椭圆C的方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），离心率e=
2
2
，上焦点到直线y=
a2
c
的距离为
2
2
，直线l与y轴交于一点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B且
AP
=t
PB
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若
OA
+t
OB
=4
OP
，求m的取值范围•
已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
与
m
-
OF
共线，则直线AB的方程是（　　）

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