题目内容
(1)若对于任意的n∈N
*,总有
=+成立,求常数A,B的值;
(2)在数列{a
n}中,
a1=,
an=2an-1+(n≥2,n∈N
*),求通项a
n;
(3)在(2)题的条件下,设
bn=,从数列{b
n}中依次取出第k
1项,第k
2项,…第k
n项,按原来的顺序组成新的数列{c
n},其中
cn=bkn,其中k
1=m,k
n+1-k
n=r∈N
*.试问是否存在正整数m,r使
(c1+c2+…+cn)=S且
<S<成立?若存在,求正整数m,r的值;不存在,说明理由.
分析:(1)由题设得(A+B)n+A=n+2恒成立,所以
?A=2,B=-1.
(2)由
an=2an-1+(n≥2)和
=-知,
an+=2an-1+=2(an-1+),且
a1+=1,由此能推导出
an=2n-1-.
(3)假设存在正整数m,r满足题设,由
an=2n-1-,
bn==,又
cn=bkn得
==()kn+1-kn=,
c1=bk1=.于是
S=(c1+c2++cn)=
=,由此能推导出存在正整数m,r满足题设,m=4,r=3或m=4,r=4.
解答:解:(1)由题设得A(n+1)+Bn=n+2即(A+B)n+A=n+2恒成立,
所以
?A=2,B=-1.(4分)
(2)由题设
an=2an-1+(n≥2)又
=-得,
an+=2an-1+=2(an-1+),且
a1+=1,
即
{an+}是首项为1,公比为2的等比数列,(8分)
所以
an+=2n-1.即
an=2n-1-为所求.(9分)
(3)假设存在正整数m,r满足题设,由(2)知
an=2n-1-显然
bn==,
又
cn=bkn得
==()kn+1-kn=,
c1=bk1=即{c
n}是以
为首项,
为公比的等比数列.(11分)
于是
S=(c1+c2++cn)=
=,(12分)
由
<S<得
13<2m-2m-r<,m,r∈N
*,
所以2
m-2
m-r=14或15,(14分)
当2
m-2
m-r=14时,m=4,r=3;
当2
m-2
m-r=15时,m=4,r=4;
综上,存在正整数m,r满足题设,m=4,r=3或m=4,r=4.(16分)
点评:本题考查数列中参数的求法、等差数列的通项公式和以极限为载体考查数列性质的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答.
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