Question

8．已知a，b为正数，a+2b=6，则$\sqrt{2a+b}$+$\sqrt{a+5b}$的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 4
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质先求出$\sqrt{2a+b}$$\sqrt{a+5b}$的最大值，再求出${（\sqrt{2a+b}+\sqrt{a+5b}）}^{2}$的值，从而得到答案．

解答 解：∵a，b为正数，a+2b=6，
∴$\sqrt{2a+b}$•$\sqrt{a+5b}$≤$\frac{2a+b+a+5b}{2}$=$\frac{3（a+2b）}{2}$=9，
当且仅当2a+b=a+5b即a=4，b=1时成立，
而${（\sqrt{2a+b}+\sqrt{a+5b}）}^{2}$
=2a+b+a+5b+2$\sqrt{2a+b}$•$\sqrt{a+5b}$
=3（a+2b）+2$\sqrt{2a+b}$$\sqrt{a+5b}$
≤18+18
=36，
∴$\sqrt{2a+b}$+$\sqrt{a+5b}$≤6，
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，将$\sqrt{2a+b}$+$\sqrt{a+5b}$平方，并求出$\sqrt{2a+b}$$\sqrt{a+5b}$的最大值是解题的关键．