Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，H分别是B₁C₁，C₁D₁，BC的中点；
（Ⅰ）求证：平面CMN∥平面HB₁D₁．
（Ⅱ）若平面HB₁D₁∩CD=G，求证：G为CD的中点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据面面平行的判定定理证明平面CMN∥平面HB₁D₁．
（Ⅱ）根据平面的基本公里3进行证明即可．

解答：（Ⅰ）∵M，N，H分别是B₁C₁，C₁D₁，BC的中点；
∴MN∥B₁D₁，
MN∥面HB₁D₁  
 又∵H为BC的中点，
在四边形HCMB₁中，B₁M∥CH，且B₁M=CH，
∴四边形HCMB₁为平行四边形，
∴HB₁∥MC，
∴MC∥面HB₁D₁，
又∵MN∩MC=M，
∴面CMN∥面HB₁D₁．
（Ⅱ）∵面HB₁D∩CD=G，CD?面ABCD，
∴G为面HB₁D₁．与面ABCD的一个公共点
又∵H为面HB₁D₁．与面ABCD的另一个公共点，
∴面HB₁D₁．∩面ABCD=GH，
又∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁，面HB₁D₁．∩面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴GH∥B₁D₁，
∴GH∥BD，
∴G为CD的中点．

点评：本题主要考查面面平行的证明，利用面面平行的判定定理是解决本题的关键．