题目内容

如图，四边形ABCD为长方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA， $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若二面角Q-BP-C的大小等于 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

（Ⅰ）证明：设DA=1，AB=t，建立如图空间坐标系D-xyz，则Q（1，1，0），C（0，0，t），P（0，2，0）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴PQ⊥DQ，PQ⊥DC
∵DC∩DQ=D，∴PQ⊥平面DCQ
∴平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）解： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ 是平面PBC的法向量，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ 是平面PBQ的法向量，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$
∴|cos $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴t=2
∴二面角Q-BP-C的大小等于 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =2．
分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，用坐标表示点与向量，证明 $\text{[math]}$ 即可证得结论；
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量 $\text{[math]}$ ，平面PBQ的法向量 $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，关键是建立空间直角坐标系，属于中档题．