Question

已知函数f（x）满足2f（x+2）-f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax(a＜-

1

2

)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设b≠0，函数g(x)=

1

3

bx3-bx，x∈（1，2）．若对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数在（-4，-2）上的解析式，利用函数的导数求出函数的最大值（用a表示），令其等于-4，从而求出a；
（II）由任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决．

解答：解：（I）由已知，得2f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分）
∵x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax，
设x∈（-4，-2），则x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
所以f′(x)=

4

x+4

+4a＞0，
∵x∈（-4，-2），
∴-4ax＜4+16a，
∵a＜-

1

2

，
∴f(x)max=f(-

1

a

-4)=4ln(-

1

a

)+4a•(-

1

a

)=-4．
又由a＜-

1

2

，可得-4＜-

1

a

-4＜-2，
∴f（x）在(-4，-

1

a

-4)上是增函数，在(-

1

a

-4，-2)上是减函数，
∴f(x)max=f(-

1

a

-4)=4ln(-

1

a

)+4a•(-

1

a

)=-4．
∴a=-1（7分）

（II）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0得，A⊆B．（9分）
由（I）a=-1，当x∈（1，2）时，f（x）=lnx-x，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
∵x∈（1，2），
∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上单调递减函数，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）（10分）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），
∴（1）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B=(

2

3

b，-

2

3

b)，
为满足A⊆B，又-

2

3

b≥0＞-1．
∴

2

3

b≤ln2-2．即b≤

3

2

ln2-3．（11分）
（2）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B=(-

2

3

b，

2

3

b)，为满足A⊆B，
又，∴-

2

3

b≤ln2-2，
∴b≥-

3

2

(ln2-2)=3-

3

2

ln2，
综上可知b的取值范围是(-∞，

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞)（12分）

点评：本题考查函数的导数在研究函数的最值中的应用，考查子集概念的理解，解题的关键是分类讨论思想与转化思想，化“生”为“熟”是解题之“良方”．