Question

已知A₁(-a,0)、A₂(a,0)是椭圆长轴的两个端点(a＞0)，椭圆离心率为，P是椭圆上异于A₁、A₂的动点，直线l₁过A₁且垂直于PA₁，直线l₂过A₂且垂直于PA₂，求l₁与l₂的交点Q的轨迹方程.

Answer 1

解析：本题是设参数求动点轨迹的典型问题.由于动点的坐标x、y直接的关系比较复杂,不容易直接求得,故而改为求x、y与第三个变量(参数)之间的关系.联立即得动点的轨迹参数方程,消去参数即得普通方程.

解：因为e=a²=4b²,故椭圆的方程为x²+4y²=a².

由椭圆的参数方程(θ为参数)(a＞b＞0),

可设P(acosθ,a2sinθ),则k_PA1=,k_PA2=

所以直线l₁的方程为

直线l₂的方程为

以上两个方程联立就是动点Q的轨迹方程.

两式相除可得cosθ=-,代入①可得

∵sin²θ+cos²θ=1,∴=1.

化简得4x²+y²=4a²,这就是动点Q的轨迹方程.