题目内容
已知函数f（x）=ax2+bx+1有相异零点x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=a2x2+bx+1有相异零点x3，x4（x3＜x4），若a＞1，求证：x1＜x3＜x4＜x2．
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：构造两个函数：F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通过讨论它们的零点，得出它们的根之间的大小关系．然后通过分类讨论和在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象，然后将两个图象向上平移一个单位，可得x1，x2，x3，x4的大小关系，最后综合可得出正确的大小关系．
解答：
证明：记函数F（x）=f（x）-1=ax2+bx，G（x）=g（x）-1=a2x2+bx
两个函数有公共的零点x=0，此外F（x）还有一个零点x=-
，G（x）还有一个零点x=-
，
①因为a＞1，当b＜0时，得必定有0＜-
＜-
，
在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象：
将此两个图象都上移一个单位，可得函数f（x）和g（x）的图象，
所以由图象可得x1＜x3＜x4＜x2
②当b＞0时，同理可得四个根的大小关系：x1＜x3＜x4＜x2
综上所述，可判断x1，x2，x3，x4的大小关系为：x1＜x3＜x4＜x2．
两个函数有公共的零点x=0，此外F（x）还有一个零点x=-
| b |
| a |
| b |
| a2 |
①因为a＞1，当b＜0时，得必定有0＜-
| b |
| a2 |
| b |
| a |
在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象：
将此两个图象都上移一个单位，可得函数f（x）和g（x）的图象，
所以由图象可得x1＜x3＜x4＜x2
②当b＞0时，同理可得四个根的大小关系：x1＜x3＜x4＜x2
综上所述，可判断x1，x2，x3，x4的大小关系为：x1＜x3＜x4＜x2．
点评：本题以一元二次方程的根的分布考查了二次函数的图象与性质，所含字母参数较多，属于难题．采用数形结合与分类讨论的思想解题，是本题解决的关键所在．
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