Question

若f(x)=ax+

a

x

-3lnx在区间[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是

a≤2

．

Answer 1

分析：首先求出函数f（x）的导函数，由函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则其导函数在（1，2）恒大于等于0或恒小于等于0，引入辅助函数g（x）=ax²-3x-a后，结合函数在区间端点值的关系列式求解a的范围．

解答：解：由f(x)=ax+

a

x

-3lnx，得：f′(x)=a-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

，
令g（x）=ax²-3x-a，
因为f(x)=ax+

a

x

-3lnx在区间[1，2]上为单调函数，
则f^′（x）在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
即g（x）=ax²-3x-a在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
也就是g（1）•g（2）≥0恒成立，
即（a-3-a）（4a-6-a）≥0，解得a≤2．
故答案为a≤2．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，函数在某区间上单调，说明其导函数在该区间内恒大于等于（或恒小于等于）0，能根据g（x）=ax²-3x-a在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0得出g（1）•g（2）≥0是解决该题的关键，此题是中档题．