题目内容

若f(x)=
ax+3x+2
在区间（-2，+∞）上是减函数，求a的取值范围．
分析：利用函数单调递减的定义，设-2＜x1＜x2，再作差f（x1）-f（x2）后化积，根据f(x)=
ax+3
x+2
在区间（-2，+∞）上是减函数，可求得a的取值范围．
解答：解：对任意的-2＜x1＜x2
f(x1)-f(x2)=
ax1+1
x1+2
-
ax2+1
x2+2

=
(ax1+1)(x2+2)-(ax2+1)(x1+2)
(x1+2)(x2+2)
=
(ax1x2+2ax1+x2+2)-(ax1x2+2ax2+x1+2)
(x1+2)(x2+2)
=
2ax1-x1-2ax2+x2
(x1+2)(x2+2)
=
(2a-1)(x1-x2)
(x1+2)(x2+2)

∵-2＜x1＜x2，则x1+2＞0，x2+2＞0，x1-x2＜0，
由f(x)=
ax+1
x+2
在区间（-2，+∞）上是减函数得f（x1）-f（x2）＞0，即
(2a-1)(x1-x2) 
(x1+2)(x2+2)
＞0，
∴2a-1＜0
∴a＜
1
2
．
点评：本题考查函数单调性的性质，难点在于思路突破口的选择，着重考查函数单调递减的定义的应用，突出化归思想的考查，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知矩阵A=
33
24
，向量β=
6
8
，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A2α=β．
（2）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为（1，0）、(1，
π
2
)，曲线C的参数方程为
x=rcosα
y=rsinα
(α为参数，r＞0）
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
（3）设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值，以及取得最大值时x的值．
（2009•闸北区一模）设f(x)=2cos2x+
3
sin2x，g(x)=
1
2
f(x+
5π
12
)+ax+b，其中a，b为非零实常数．
（1）若f(x)=1-
3
，x∈[-
π
3
，
π
3
]，求x；
（2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知：对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），当且仅当x1=x2时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．
已知函数f(x)=
ax-5
x+2
，若y=f（2x-3）的反函数为y=g（x），且g（2）=1，则实数a的值为（　　）
已知f（x）=|ax+1|（a∈R）|，
（1）a=2时解不等式f（x）≤3；
（2）若|f(x)-2f(
x2
)|≤k恒成立，求k的取值范围．

（本题满分15分）

已知函数f (x )=ax 3 + x2 + 2  ( a ≠ 0 ) ．

(Ⅰ) 试讨论函数f (x )的单调性；

(Ⅱ) 若a>0，求函数f (x ) 在［1，2］上的最大值．

 

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