Question

已知：点F是抛物线：x²=2py（p＞0）的焦点，过F点作圆：（x+1）²+（y+2）²=5的两条切线互相垂直．
（Ι）求抛物线的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+b（k＞0）交抛物线于A，B两点．
①若抛物线在A，B两点的切线交于P，求证：k-k_PF＞1；
②若B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，A，B在y轴两侧，且，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得：圆心、切点与点F形成的四边形为正方形，因为半径为，所以点F到圆心的距离为，即可得，进而求出p的数值．
（II）①设A，B两点的坐标分别为（x₁，），（x₂，），利用导数求出切线的斜率，写出两条切线的方程，求出交点P的坐标，进而求出k_PF=，所以k-k_PF=k-=k+=，所以由基本不等式可得：k-k_PF＞≥1．
②联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，因为B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，可得x₂=-2x₁．进而得到b=8k²．因为，结合题意可得，进而得到k=，b=．
解答：解：（I）由题意可得：过F点作圆：（x+1）²+（y+2）²=5的两条切线互相垂直，切点分别为M，N．
所以由圆心、切点与点F形成的四边形为正方形，
因为半径为，
所以点F到圆心的距离为，即可得，
解得：p=2或者p=-10（舍去），
所以抛物线的方程为x²=4y．

（II）①设A，B两点的坐标分别为（x₁，），（x₂，），
因为抛物线的方程为x²=4y，
所以y′=x．
所以切线AP为：…①
切线BP的方程为：…②，
由①②可得点P的坐标为（，）．
联立直线l：y=kx+b与抛物线的方程的方程可得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
所以可得点P的坐标为（2k，-b），
所以k_PF=，
所以k-k_PF=k-=k+=＞，
所以由基本不等式可得：k-k_PF＞≥1．
所以k-k_PF＞1．
②设A，B两点的坐标分别为（x₁，），（x₂，），
由题意可得：联立直线l：y=kx+b与抛物线的方程的方程可得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，…①
因为B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，
所以，即x₂²=4x₁²．
因为A，B在y轴两侧，
所以x₂=-2x₁…②
由①②可得：b=8k²…③．．
又因为，
所以结合①整理可得：…④，
所以由③④可得：k=，b=．
所以l的方程为：．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，并且熟练利用利用数形结合的数学思想解决数学问题．