Question

【题目】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：

（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）A1C//平面AB1E．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】题分析：（1）先根据直棱柱的性质，可得平面，可得，再根据等腰三角形性质可得，从而可得平面，进而得出结果；（2）连接，设，连接，由平行四边形的性质结合中位线定理可得.根据线面平行的判定定理可得结果.

试题解析：证明：

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1平面ABC．

因为AE平面ABC，

所以CC1AE．

因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AEBC．

因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，

且BC∩CC1＝C，

所以AE平面B1BCC1．

因为AE平面AB1E，

所以平面AB1E平面B1BCC1.

（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，

所以F为A1B的中点．

又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．

因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，

所以A1C∥平面AB1E.