Question

已知正项等比数列{a_n}满足：log₃a₁+log₃a₃=4，log₃a₅+log₃a₇=12
（l）求数列{a_n}的通项公式
（2）记T_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，如果数列{b_n}满足：bn=

1

2Tn

；若存在n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据对数函数性质求出a₁a₃=3⁴，a₅a₇=3¹²，进而求出a₂和a₆，然后求出公比，就可以得出数列的通项公式；
（2）先运用对数函数的性质求出T_n，然后求出数列{b_n}，再根据单调性可知n=1时，数列{b_n}有最小值，即可求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵log₃a₁+log₃a₃=log₃（a₁a₃）=4，log₃a₅+log₃a₇=log₃（a₅a₇）=12
∴a₁a₃=3⁴，a₅a₇=3¹²∴a₂=3²，a₆=3⁶
∴q4=

a6

a2

=34
∵a_n＞0
∴q=3，a_n=a₂q^n-2=9×3^n-2=3ⁿ
（2）由（1）可得T_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=log₃（a₁a₂…a_n）=log3 3

n(n+1)

2

=

n(n+1)

2

∴bn=

1

2Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n=(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)(

3

4

)n=

n

n+1

(

3

4

)n（*）
由数列的单调性可知n=1时，（*）有最小值

3

8

若存在n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，则只需m＜

3

8

点评：（1）在由等比数列中的项求通项公式时，要注意灵活利用等比数列的通项公式a_n=a_mq^n-m
（2）注意本题是存在n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，则只需m＜（*）的最小值：若把存在n∈N*改为任意n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，则需m＜（*）的最大值，注意两者的区别