Question

如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC,N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.

Answer 1

证法一:过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ.

    ∵MP∥AB，NQ∥AB，

    ∴MP∥NQ.

    又NQ=BN=CM=MP，

    ∴MPQN是平行四边形.∴MN∥PQ，PQ平面BCE.

    而MN平面BCE，

    ∴MN∥平面BCE.

证法二:过M作MG∥BC,交AB于点G(如图)，连结NG.

    ∵MG∥BC，BC平面BCE,

    MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.

    又==,∴GN∥AF∥BE,同样可证明GN∥平面BCE.

    又MG∩NG=G，

    ∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG,

    ∴MN∥平面BCE.