Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为

2

2

，F₁，F₂为其焦点，一直线过点F₁与椭圆相交于A、B两点，且△F₂AB的最大面积为

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：设出椭圆方程，直线AB方程，联立利用韦达定理，表示出三角形的面积，结合基本不等式，即可求得结论．

解答：解：由e=

2

2

得a：b：c=

2

：1：1，所以椭圆方程设为x²+2y²=2c²
设直线AB：x=my-c，由

x=my-c x2+2y2=2c2

得：（m²+2）y²-2mcy-c²=0
∴△=4m²c²+4c²（m²+2）=4c²（2m²+2）=8c²（m²+1）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂是方程的两个根
由韦达定理得

y1+y2= 2mc m2+2 y1y2=- c2 m2+2

，所以|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 2 c m2+1

m2+2

∴S△ABF2=

1

2

|F1F2||y1-y2|=c•2

2

c

m2+1

m2+2

=

2 2 c2

m2+1 + 1 m2+1

≤2

2

c2•

1

2

=

2

c2
当且仅当m=0时，即AB⊥x轴时取等号
∴

2

c2=

2

，c=1
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．