Question

16．已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，若角α的终边过点$P（x，-\sqrt{2}）$，且$cosα=\frac{{\sqrt{3}}}{6}x$（x≠0），判断角α所在的象限，并求sinα和tanα的值．

Answer 1

分析 利任意角的三角函数的定义求得x的值，分类讨论求得sinα和tanα的值．

解答 解：依题意，点P到原点O的距离为$r=|{OP}|=\sqrt{{x^2}+{{（-\sqrt{2}）}^2}}=\sqrt{{x^2}+2}$，则$cosα=\frac{x}{r}=\frac{x}{{\sqrt{{x^2}+2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}x$，
∵x≠0，∴x²+2=12，∴x²=10，$x=±\sqrt{10}$，
∴$r=2\sqrt{3}$，所以P在第三或第四象限．
当点P在第三象限时，$x=-\sqrt{10}$，$y=-\sqrt{2}$，则$sinα=\frac{y}{r}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，$tanα=\frac{y}{x}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
当点P在第四象限时，$x=\sqrt{10}$，$y=-\sqrt{2}$，则$sinα=\frac{y}{r}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，$tanα=\frac{y}{x}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．属于基础题．