题目内容
已知函数，f（x）=x2，g（x）=2eln（x＞0）（e为自然对数的底数），它们的导数分别为
f′（x）、g′（x）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4
；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0）的单调区间及最小值．
f′（x）、g′（x）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4
；（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0）的单调区间及最小值．
解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）= 
，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+
）≥2×2 
=4 
，
当且仅当x=
，即x=
时，等号成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4
（2）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=2（x﹣
）= 
（x＞0），
令F′（x）=0，得x=
（x=﹣
舍），
∴当0＜x＜
时，F′（x）＜0，F（x）在（0，
）上单调递减；
当x＞
时，F′（x）＞0，F（x）在（ 
，+∞）上单调递增．
∴当x=
时，F（x）有极小值，也是最小值，
即F（x）min=F（
）=e﹣2eln
=0．
∴F（x）的单调递增区间为（
，+∞），单调递减区间为（0，
），最小值为0
， ∴f′（x）+g′（x）=2（x+
）≥2×2 =4 ，当且仅当x=
，即x= 时，等号成立．∴f′（x）+g′（x）≥4
（2）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=2（x﹣
）= （x＞0），令F′（x）=0，得x=
（x=﹣ 舍）， ∴当0＜x＜
时，F′（x）＜0，F（x）在（0， ）上单调递减；当x＞
时，F′（x）＞0，F（x）在（ ，+∞）上单调递增．∴当x=
时，F（x）有极小值，也是最小值，即F（x）min=F（
）=e﹣2eln =0．∴F（x）的单调递增区间为（
，+∞），单调递减区间为（0， ），最小值为0 
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