Question

9．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+a}{{e}^{x}}$，若当x∈[0，2]时，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 当x∈[0，2]时，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，化为a≥$\frac{{e}^{x-2}-x}{{x}^{2}+1}$=g（x）．当x∈[0，2]时，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$恒成立?g（x）_max≤a，x∈[0，2]．利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：当x∈[0，2]时，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，化为a≥$\frac{{e}^{x-2}-x}{{x}^{2}+1}$=g（x）．
当x∈[0，2]时，f（x）≥$\frac{1}{{e}^{2}}$恒成立?g（x）_max≤a，x∈[0，2]．
g′（x）=$\frac{（{e}^{x-2}-1）（{x}^{2}+1）-（{e}^{x-2}-x）2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）[{e}^{x-2}（x-1）+x+1]}{（{x}^{2}+1）^{2}}$．
令h（x）=e^x-2（x-1）+（x+1），则h′（x）=xe^x-2+1＞0，
∴h（x）在x∈[0，2]时单调递增，
∴h（x）≥h（0）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$＞0．
令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得0≤x＜1，此时函数g（x）单调递减．
而g（0）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，g（2）=$\frac{-1}{5}$．
∴a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$．
∴a的取值范围是$[\frac{1}{{e}^{2}}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．