Question

已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是常数．
（1）若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线；
（2）是否存在常数a，使f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

（1）a=1时，f(x)=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1.

，在点P（-1，f（-1））附近，
f（x）=x-x²，f^/（x）=1-2x，所以P（-1，-2），k=f^/（-1）=3，所求切线方程为y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（2）f（x）＜2x+1即x|x-a|＜2x+1（*）
x=0时，（*）等价于0＜1，对任意a∈R恒成立．
0＜x＜2时，（*）等价于|x-a|＜2+

1

x

，即x-2-

1

x

＜a＜2+x+

1

x

，2+x+

1

x

≥4，等号当且仅当x=1时成立，
(x-2-

1

x

)/=1+

1

x2

＞0，y=x-2-

1

x

在0＜x＜2单调递增，x-2-

1

x

＜-

1

2

，所以-

1

2

≤a＜4（9分）．
x＜0时，（*）等价于|x-a|＞2+

1

x

，即a＞2+x+

1

x

或a＜x-2-

1

x

，2+x+

1

x

=2-[(-x)+(-

1

x

)]≤2-2=0，
等号当且仅当-x=1即x=-1时成立，所以a＞0，
y=x-2-

1

x

在x＜0时的取值范围为R，所以a＜x-2-

1

x

恒成立的a的解集为空集φ．
所以，常数a的取值范围为R∩{a|-

1

2

≤a＜4}∩{a|a＞0}={a|0＜a＜4}．