Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：对任意的n∈N^*有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件可知b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由此可知数列{b_n}的通项公式．
（2）由题设知T_n=S_2n-S_n==．故，由此可证明T_n+1＞T_n．
（3）根据题设条件可以用数学归纳法进行证明．
解答：解：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾
从而得，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列
∴，即．（4分）
（2）∵
∴T_n=S_2n-S_n=
=（6分）
∵2n+1＜2n+2∴
∴
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（3）用数学归纳法证明：
①当n=1时，不等式成立；（9分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即，那么当n=k+1时==（12分）
=
∴当n=k+1时，不等式成立
综①②知对任意的n∈N^*，不等式成立．（14分）
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．