题目内容

已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）若函数f（x）在区间 $数学公式$ （m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（II）当 x≥1时，不等式 $数学公式$ 恒成立，求实数t的取值范围；
（III）求证[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

解：（Ⅰ）由题意 $\text{[math]}$ ，x＞0，
所以 $\text{[math]}$ ，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ （其中m＞0）上存在极值，
所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
故实数m的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
令h（x）=x-lnx，则 $\text{[math]}$ ，
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增．
所以h（x）≥h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）=2，
所以实数t的取值范围是（-∞，2]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 $\text{[math]}$ 恒成立，
即 $\text{[math]}$ ，
令x=n（n+1），则 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ．
以上各式相加， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．
分析：（Ⅰ）由斜率公式求出k=f（x），求出导数f′（x），根据导数符号可判断f（x）的极值情况，要使函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ （其中m＞0）上存在极值，须有极值点在该区间内，从而得不等式组，解出即可；
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则问题转化为求函数g（x）的最小值问题，利用导数研究函数g（x）的单调性，由单调性即可求得其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 $\text{[math]}$ 恒成立，即 $\text{[math]}$ ，令x=n（n+1），则 $\text{[math]}$ ，
令n=1，2，3，…，n可得n个不等式，相加用裂项法化简后再变形即可得到结论；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查恒成立问题及不等式的证明，恒成立问题往往转化为求函数最值，解决本题（Ⅲ）问的关键是利用（Ⅱ）结论构造不等式．