题目内容
在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB∥MN，PD⊥底面ABCD，
=2，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA、PB的中点．
（Ⅰ）求二面角P-MN-D的大小；
（Ⅱ）当
的值为多少时，∠CND为直角？
| AB |
| AD |
（Ⅰ）求二面角P-MN-D的大小；
（Ⅱ）当
| CD |
| AB |
（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD．
又MN是△PAB的中位线，∴MN∥AB，从而MN⊥面PAD，
∴∠PMD为二面角P-MN-D的平面角，
由已知，在Rt△PAD中，易证：∠PAD=60°，而M是PA的中点，
∴∠PMD=120°．
即所求二面角P-MN-D的大小为120°．
（Ⅱ）令
=X，不妨设AD=2，则PD=
，AB=4，CD=X，AB=4X．
以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
D（0，0，0），N（1，2，
），C（0，4x，0），
∴
（1，2，
），
（1，2-4x，
），
若∠CND为直角，则必有
⊥
，
即
•
=0
于是有1×1+2(2-4x)+
×
=0，解得x=1．
∴当
=1时，∠CND为直角．
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD．
又MN是△PAB的中位线，∴MN∥AB，从而MN⊥面PAD，
∴∠PMD为二面角P-MN-D的平面角，
由已知，在Rt△PAD中，易证：∠PAD=60°，而M是PA的中点，
∴∠PMD=120°．
即所求二面角P-MN-D的大小为120°．
（Ⅱ）令
| CD |
| AB |
| 2 | 3 |
以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
D（0，0，0），N（1，2，
| 3 |
∴
| DN |
| 3 |
| CN |
| 3 |
若∠CND为直角，则必有
| DN |
| CN |
即
| DN |
| CN |
于是有1×1+2(2-4x)+
| 3 |
| 3 |
∴当
| CD |
| AB |
练习册系列答案
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