Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁(－3，0)，一条渐近线的方程是．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． 　　(Ⅰ)解：设双曲线的方程为()．由题设得 　　，解得，所以双曲线方程为． 　　(Ⅱ)解：设直线的方程为()．点，的坐标满足方程组 　　将①式代入②式，得，整理得． 　　此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．③ 　　由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 　　，． 　　从而线段的垂直平分线方程为． 　　此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，． 　　将上式代入③式得，整理得，． 　　解得或． 　　所以的取值范围是．