Question

如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，
求证：①PA=EF；②PA⊥EF．

Answer 1

分析：①利用AD⊥DC建立坐标系，根据题意表示出正方形ABCD顶点的坐标，再设DP=r并利用PECF为矩形，求出点E、F的坐标，由向量的坐标表示求出

PA

，

EF

的坐标，根据向量的模求法证明PA=EF；②利用①求出

PA

，

EF

的坐标，利用数量积坐标运算求出

PA

•

EF

=0，即证出PA⊥EF．

解答：解：以D为原点

DC

为x轴正方向建立直角坐标系，
则A（0，1），C：（1，0）B：（1，1），
①设DP=r，则P(

2

2

r，

2

2

r)，∴

PA

=(-

2

2

r，1-

2

2

r)
∵E点为(1，

2

2

r)，F：(

2

2

r，0)
∴

EF

=(

2

2

r-1，-

2

2

r)
∴|

PA

|=

(- 2 2 r)2+(1- 2 2 r)2

，|

EF

|=

(1- 2 2 r)2+(- 2 2 r)2

∴PA=EF，
②由①得，

PA

•

EF

=(-

2

2

r，1-

2

2

r)• (

2

2

r-1，-

2

2

r)
=-

2

2

r(

2

2

r-1)=0，
∴

PA

⊥

EF

．

点评：本题考查了利用坐标法证明几何中的问题，即利用图形的特点建立适当的坐标系，求出每个点的坐标，再利用向量的坐标运算求出对应向量的坐标，利用向量的公式以及运算进行证明或求值．