Question

如图，已知过原点O的直线与函数y=log₈x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log₂x的图象交于C，D两点；若BC∥x轴，则点A的坐标为

（

3

，

1

6

log23）

．

Answer 1

分析：设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，根据OC、OD的斜率相等，利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标．

解答：解：设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，
由题设知，x₁＞1，x₂＞1．则点A、B纵坐标分别为log₈x₁，log₈x₂，
因为A、B在过点O的直线上，所以

log8x1

x1

=

log8x2

x2

，
点C、D坐标分别为（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BC平行于x轴，可知，
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=

x

3 1

．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂，得x₁²log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁²=3x₁．
考虑x₁＞1，解得x₁=

3

．
于是点A的坐标为（

3

，log8

3

），即A（

3

，

1

6

log23），
故答案为：（

3

，

1

6

log23）．

点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．属于中档题．