Question

如图，已知过原点O从x轴正方向出发逆时针旋转240°得到射线t,点A(x,y)在射线t上(x＜0,y＜0=，设|OA|=m,又知点B在射线y=0(x＜0=上移动，设P为第三象限内的动点，若·=0，且·，·，||²成等差数列.

(1)试问点P的轨迹是什么曲线？

(2)已知直线l的斜率为,若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，设线段MN的中点为Q，求点Q的横坐标的取值范围.

Answer 1

解：(1)设点A(x₁,x₁),B(x₁,0),P(x,y).

∵⊥,∴x=x₂.

∵|OA|=m,

∴=|2x₁|=m,

∵点A在第三象限，∴x₁＜0,

∴x₁=-,A(-,-m).

∵·+||²=·,

    即［-(x+,y+m)］·(0,-y)+(x+,m)²

=(,m)·(x+,y+m),

    整理得(x+)²+y²=(x＜0,y＜0),

∴点P的轨迹是圆的一部分.

(2)设点Q(x₀,y₀),l:y=x+b,

M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

x²+(+b)x+b²=0,

Δ=0时，b=-m或m(舍)，

∴b∈(-m,0),

x₀==-,

∴x₀∈(-m,m).