Question

已知函数f（x）=x²-alnx+x（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论函数y=f（x）的单调性．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-lnx+x，f（1）=2，此时点A（1，2），f′(x)=2x-

1

x

+1，
∴切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为：y-2=2（x-1），
即y=2x…（5分）
（Ⅱ）由题意知：f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x-

a

x

+1=

2x2+x-a

x

…（7分）
令g（x）=2x²+x-a（x＞0）
（1）当△=1+8a≤0，即a≤-

1

8

时，g（x）≥0，
∴?x∈（0，+∞），f′（x）≥0，
∴f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当△=1+8a＞0，即a＞-

1

8

时，此时g（x）=0有两个根：x1=

-1- 1+8a

4

＜0，x2=

-1+ 1+8a

4

①若x2=

-1+ 1+8a

4

≤0⇒-

1

8

＜a≤0时，f′（x）≥0，?x∈（0，+∞）
②若x2=

-1+ 1+8a

4

＞0⇒a＞0时，当x∈(0，

-1+ 1+8a

4

)，f′(x)＜0；
当x∈(

-1+ 1+8a

4

，+∞)，f′(x)＞0
综上可知：（1）当a≤-

1

8

时时，f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当a＞-

1

8

时，f（x）的减区间是(0，

-1+ 1+8a

4

)，增区间是(

-1+ 1+8a

4

，+∞)…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．