Question

如图所示，设P₁，P₂，…，P_n，…是半抛物线上的点列，Q₁，Q₂，…Q_n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…都是正三角形．设它们的边长为a₁，a₂，…，a_n，…，求证：a₁+a₂+…+ a_n=n(n+1)．

 

 

Answer 1

答案：
提示：

证明：(1)当n=1时，因为P1是直线y=与半抛物线y=的交点， 　　∴　P1点的坐标为 　　∴　a1=|OP1|= 　　而，命题成立． 　　(2)假设n=k时命题成立，即 　　a1+a2+…+ak 　　则Qk点的坐标为，直线QkPk+1的方程为y=，代入y=，解得Pk+1点的坐标为， 　　ak+1=|QkPk+1| 　　　 　　　 　　由此可得　a1+a2+…+ak+ak+1 　　　　　　 　　　　　　 　　这说明n=k+1时命题也成立． 由(1)、(2)可知，命题对所有n(n∈N*)都成立．