Question

（2012•绥化模拟）已知{a_n}前n项和为S_n，且S_n=1-a_n（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

n

an

（n∈N^*（5））求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）利用递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可得a_n与a_n-1的关系，结合等比数列的通项可求
（2）结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和

解答：解（1）当n=1时，a₁=1-a₁，
∴a₁=

1

2

，（2分）
∵S_n=1-a_n，①
∴S_n+1=1-a_n+1，②
②-①得 a_n+1=-a_n+1+a_n，
∴a_n+1=

1

2

a_n（n∈N*），（4分）
∴数列{a_n}是首项为a₁=

1

2

，公比q=

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（2）b_n=

n

an

=n•2ⁿ（n∈N^*），（7分）
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，③
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，④（9分）
③-④得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，
整理得  T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*．（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

实现数列的和与项之间的相互转化，而一个数列的通项为a_nb_n，且a_n，b_n一个为等差数列，一个为等比数列时，求和用错位相减