Question

已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：由 ，  得 .         ………2分

依题意△是等腰直角三角形，从而，故.  …………4分

所以椭圆的方程是.                  ……5分

（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.   

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得 .           ……7分

所以 ，.              ……8分

若平分，则直线，的倾斜角互补，

所以.                                         …………9分

设，则有 .

将 ，代入上式，

整理得 ，

所以 .        ………………12分

将 ，代入上式，

整理得 .                ……………13分

由于上式对任意实数都成立，所以 .

      综上，存在定点，使平分.   …………14分

【解析】略