Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，点（n，，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直线y=x上．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）由已知中点（n，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直线y=x上可得n=2a_n+1-a_n，结合a1=

1

2

，依次代入n=2，n=3，n=4中即可得到a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由已知中b_n=a_n+1-a_n-1，我们可以分别计算出b_n及b_n+1的表达式，然后代入

bn+1

bn

中，易判断

bn+1

bn

为定值，结合a1=

1

2

，求出b₁的值，即可判断出数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）由（II）的结论我们易给出数列{b_n}的通项公式，然后结合b_n=a_n+1-a_n-1，利用累加法即可求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）由题意，2an+1-an=n，又a1=

1

2

，所以2a2-a1=1，解得a2=

3

4

．（2分）
同理a3=

11

8

，a4=

35

16

，（3分）
（Ⅱ）因为2a_n+1-a_n=n，
所以bn+1=an+2-an+1-1=

an+1+n+1

2

-an+1-1=

n-an+1-1

2

，（5分）bn=an+1-an-1=an+1-(2an+1-n)-1=n-an+1-1=2bn+1，即

bn+1

bn

=

1

2

（7分）
又b1=a2-a1-1=-

3

4

，所以数列{b_n}是以-

3

4

为首项，

1

2

为公比的等比数列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=-

3

4

•(

1

2

)n-1（10分）
∴a_n+1-a_n-1=-

3

4

•(

1

2

)n-1∴a_n+1-a_n=-

3

4

•(

1

2

)n-1+1（11分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）（12分）
=

1

2

-

3

4

[(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2++(

1

2

)n-2]+n-1
=n-2+

3

2n

（14分）

点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，及等比关系的确定，判断一个数列为等比数列就是根据定义判定判断

bn+1

bn

为定值．