题目内容

已知函数f（x）=2x³+（m-x）³（m∈N^*）．
（1）若x₁，x₂∈（0，m），证明： $数学公式$ ；
（2）对于任意的 $数学公式$ ，问以f（a），f（b），f（c）的值为边长的三条线段是否可构成三角形？并说明理由．

（1）证明：由题知 $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ ．（2分）
又∵x₁，x₂∈（0，m），∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，（3分）
同理 $\text{[math]}$ ，（5分）
故得 $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）解：以f（a），f（b），f（c）的值为边长的三条线段可以构成三角形．
事实上，因为f（x）=2x³+（m-x）³，所以f'（x）=6x²-3（m-x）²=3x²+6mx-3m²．（7分）
∵当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0，
∴f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
∴在 $\text{[math]}$ 处取得最小值 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 处取最大值 $\text{[math]}$ ．（9分）
不妨设a≤b≤c，则 $\text{[math]}$ （11分）
而 $\text{[math]}$ ，
因此以f（a），f（b），f（c）的值为边长的三条线段可以构成三角形．（13分）
分析：（1）先分别确定左、右函数值，再利用作差法，即可证得结论；
（2）先证明f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，再利用两边之和大于第三边，即可确定结论．
点评：本题考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．