Question

设f（x）=x^m+ax的导函数为f^/（x）=2x+1且∫₁²f（-x）dx=a  则（ax+

1

6

）¹²展开式中各项的系数和为

 

．

Answer 1

分析：由导数的性质先求出f（x）=x²+x，再由∫₁²f（-x）dx=a 求出a的值，然后再求（ax+

1

6

）¹²展开式中各项的系数和．

解答：解：∵f（x）=x^m+ax的导函数为f^/（x）=2x+1，
∴m=2，a=1，
∴∫₁²f（-x）dx=∫₁²（（-x）²-x）dx=（

1

3

x3-

1

2

x2）|₁²=

5

6

，
∴a=

5

6

．
∴（ax+

1

6

）¹²展开式中各项的系数和=(

5

6

+

1

6

) 12=1．
故答案为：1．

点评：本题考查二项式系数的性质、导数的运算和定积分的应用，解题时要公式的灵活运用．