Question

9．已知函数f（x）=sinx•$\sqrt{1-co{s}^{2}x}$．
（1）化简f（x），判断f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）求f（$\frac{2015π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据sinx的符号将f（x）写成分段函数，使用定义法证明奇偶性；
（2）根据（1）的化简结果计算．

解答 解：（1）f（x）=sinx|sinx|=$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}x，sinx≥0}\\{-si{n}^{2}x，sinx＜0}\end{array}\right.$．∴f（x）是奇函数，
当sinx＞0时，sin（-x）＜0，∴f（x）=sin²x，f（-x）=-sin²（-x）=-sin²x．∴f（-x）=-f（x）；
当sinx＜0时，sin（-x）＞0，∴f（x）=-sin²x，f（-x）=sin²（-x）=sin²x．∴f（-x）=-f（x）；
当sinx=0时，f（x）=0，
综上，f（x）是奇函数．
（2）∵sin$\frac{2015π}{6}$=sin（336π-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$＜0．
∴f（$\frac{2015π}{6}$）=-（-$\frac{1}{2}$）²=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了分段函数奇偶性的判断，函数求值，属于基础题．