Question

20.已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a,侧面A₁ACC₁⊥底 面ABC,A₁B＝a.

20题图

(Ⅰ)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

(Ⅱ)求证A₁B⊥面AB₁C.

Answer 1

20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查逻辑推理能力 和空间想象能力.

  解:过点B作BO⊥AC,垂足为点O,则BO⊥侧面ACC₁A₁,连结A₁O,在Rt △A₁BO中,A₁B＝a,BO＝a,

∴A₁O＝a,又AA₁＝a,AO＝.

∴△A₁AO为直角三角形,A₁O⊥AC,A₁O⊥底面ABC.

解法一:

(Ⅰ)

∵　A₁C₁∥AC,

∴　∠BC₁A₁为异面直线AC与BC₁所成的角.

∵　A₁O⊥面ABC,AC⊥BO,

∴　AC⊥A₁B,

∴  A₁C₁⊥A₁B.

在Rt△A₁BC₁中,A₁B＝a,A₁C₁＝a,

∴　BC₁＝a

∴  cosBC₁A₁＝,

所以,异面直线AC与BC₁所成角的余弦值为.

(Ⅱ)

设A₁B与AB₁相交于点D,

∵　ABB₁A₁为菱形,

∴　AB₁⊥A₁B.

又　A₁B⊥AC,

  AB₁与AC是平面AB₁C内两条相交直线,

  所以A₁B⊥面AB₁C.

  解法二:

(Ⅰ)如图,建立坐标系,原点为BO⊥AC的垂足O.由题设条件可得

B(a,0,0),C₁(0,a,a),

A(0,－a,0),C(0,a,0),

∴  ＝(－a,a,a),＝(0,a,0).

设与的夹角为θ,则

cosθ＝＝＝,

所以,异面直线AC与BC₁所成角的余弦值为.

(Ⅱ)A₁(0,0,a),B(,0,0),

∴　＝(a,0,－a),

    ＝(0,a,0),·＝0,

∴  A₁B⊥AC.

又ABB₁A₁为菱形,

∴　A₁B⊥AB₁.

又因为AB₁与AC为平面AB₁C内两条相交直线,

所以A₁B⊥平面AB₁C.