Question

如果椭圆C和双曲线C′具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则称椭圆C是双曲线C′的“伴生”椭圆，据此，焦点在x轴上，以y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1的双曲线的“伴生”椭圆的方程是________．

Answer 1

分析：由题意，焦点在x轴上，以y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1的双曲线，可设其焦点为（±c，0），由点到直线的距离公式得1=，解得c=，从而得出a的值，解出双曲线的离心率，再由定义得出椭圆的离心率，及焦点的坐标，由离心率公式即可解出a′=2，进而求出b′=，写出椭圆的标准方程即可
解答：由题意双曲线的焦点在x轴上，可设焦点为（±c，0），又y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1
∴a=b且1=，解得c=，
∴a=b=1，故此双曲线的离心率为=
由定义知，其对应的椭圆的离心率为
又椭圆的焦点（±，0），可得a′=2，从而b′=
故椭圆的标准方程为
故答案为
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考察了椭圆与双曲线的性质，解题的关键是理解定义，由定义得出椭圆的参数的值，本题考察了阅读能力及推理判断的能力，本部分题符号计算多，运算量大，解题时要认真严谨，避免马虎出错