题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移 $数学公式$ 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求g（x）在[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]上的值域．

解：（1）∵函数f（x）= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ cos2x-sin2x=-2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴f（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故f（x）的单调递增区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，可得函数y=-2sin[2（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=2sin2x的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2sin $\text{[math]}$ x的图象，故g（x）=2sin $\text{[math]}$ x．
∵- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ x≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤sin $\text{[math]}$ x≤1，
∴g（x）的值域为[-1，2]．
分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为-2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），可得f（x）的最小正周期．再令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可
得到f（x）的单调递增区间．
（2）第一次变换可得y=2sin2x的图象，再经过第二次变换可得y=2sin $\text{[math]}$ x的图象，故g（x）=2sin $\text{[math]}$ x．根据x的范围求得sin $\text{[math]}$ x的范围，从而求得g（x）的值域．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式的应用，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．