Question

8．集合A满足条件：若a∈A，则f（a）=$\frac{2a}{2a+1}$∈A，且f（f（a））∈A，依此类推．f（f（f（a）））∈A，…，依此类推．
（1）若集合A为单元素集，求a和A；
（2）满足条件的集合A中是否可有两个元素？若存在，求出集合A；若不存在，说明理由；
（3）用描述法写出一个满足条件的无穷集合A．

Answer 1

分析 （1）令a=$\frac{2a}{2a+1}$，解方程求出a的值即可；（2）根据元素的互异性得到方程组无解，判断即可；（3）令a=1，得到相对应的f（a），根据f（a）的特点，求出集合A即可．

解答 解：（1）由于集合A为单元素集合，故a=$\frac{2a}{2a+1}$，解得a=0或a=$\frac{1}{2}$，
当a=0时，集合={0}；当a=$\frac{1}{2}$时，集合={$\frac{1}{2}$}；
（2）集合A中有且仅有两个元素，故a≠$\frac{2a}{2a+1}$并且a≠$\frac{2•\frac{2a}{2a+1}}{2•\frac{2a}{2a+1}+1}$≠$\frac{4a}{6a+1}$，
由于方程组无解，故不存在实数a，使集合A中有且仅有两个元素；
（3）令a=1=$\frac{{2}^{0}}{{2}^{1}-1}$，
则f（1）=$\frac{2}{3}$=$\frac{{2}^{1}}{{2}^{2}-1}$，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{7}$=$\frac{{2}^{2}}{{2}^{3}-1}$，
f（$\frac{4}{7}$）=$\frac{8}{15}$=$\frac{{2}^{3}}{{2}^{4}-1}$，f（$\frac{8}{15}$）=$\frac{16}{31}$=$\frac{{2}^{4}}{{2}^{5}-1}$，
∴A={x|x_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}-1}$，n∈N^*}．

点评 本题考查了元素和集合的关系，考查集合的表示方法，是一道中档题．