Question

【题目】已知二次函数 ，

（1）若，且对，函数的值域为，求的表达式；

（2）在(1)的条件下，函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（3）设，，且为偶函数，证明

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由题意首先求得a,b的值，据此即可确定函数f(x)的解析式，即可确定函数的表达式；

（2）由题意结合函数的解析式得到关于m的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围；

（3）由题意结合函数的性质可得，且，据此结合函数的解析式即可证得题中的不等式.

（1）∵，

∴.

又对，函数的值域为，

∴，解得，

所以.

即

（2）由（1）知

由时，单调递减，

故，

解得，

所以，当时，函数在上单调递减.

（3）证明∵是偶函数，∴，

即

因为，不妨令，则，

又，所以，且，

故，

所以的值大于零.