Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和（n=1，2，3，……）。按如下方式定义数列 {a_n}：a₁=m（m∈N*），对任意k∈N*，k＞1，设a_k为满足0≤a_k≤k-1的整数，且k整除S_k，
（Ⅰ）当m=9时，试给出{a_n}的前6项；
（Ⅱ）证明：k∈N*，有；
（Ⅲ）证明：对任意的m，数列{a_n} 必从某项起成为常数列。

Answer 1

解：（Ⅰ）m=9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，
即前六项为9，1，2，0，3，3。
（Ⅱ）；
 （Ⅲ），
由（Ⅱ）可得，
为定值且单调不增，
∴数列必将从某项起变为常数，
不妨设从l项起为常数，则，
于是，
所以，
所以{a_n}当n≥l+1时成为常数列。