Question

21.已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值－2.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极大值；

（Ⅱ）证明对任意x₁，x₂∈（－1,1），不等式|f（x₁）－f（x₂）|＜4恒成立.

Answer 1

21. 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：由奇函数的定义，应有f（－x）=－f（x）,x∈R.

即　　　　－ax³－cx+d=－ax³－cx－d,∴d=0.

因此,　　　f（x）=ax³+cx,

f′（x）=3ax²+c.

由条件f（1）=－2为f（x）的极值，必有f′（1）=0，故

解得a=1,c=－3.

因此,  　　f（x）=x³－3x,

f′（x）=3x²－3=3（x+1）（x－1）,

f′（－1）=f′（1）=0.

当x∈（－∞,－1）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（－∞,－1）上是增函数.

当x∈（－1,1）时，f′（x）＜0,故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数.

当x∈（1,+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数.

所以,f（x）在x=－1处取得极大值，极大值为f（－1）=2.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）=x³－3x（x∈［－1,1］）是减函数，且

f（x）在［－1，1］上的最大值M=f（－1）=2,

f（x）在［－1，1］上的最小值m=f（1）=－2.

所以，对任意的x₁,x₂∈（－1,1），恒有

|f（x₁）－f（x₂）|<M－m=2－（－2）=4.