Question

如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知a₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

，又设第一行数列的公差为d₁．
（Ⅰ）求出a₁₁，d₁及q；
（Ⅱ）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列a_nn的表达式，并求S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）仔细观察图表，由题设条件知

a12=a11+d1=1 a23=a13•q=(a11+2d1)q= 3 4 a32 a12 =q2 aij＞0(i，j=1，2，…n)

，由此能求出求出a₁₁，d₁及q．
（Ⅱ）由图表中的规律，知ann=a1nqn-1=[a11+(n-1)d1]qn-1=n•(

1

2

)n，由此利用错位相减法能求出S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

解答：（本题满分13分）
解：（Ⅰ）∵9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，
每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，
a₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

，设第一行数列的公差为d₁．
∴

a12=a11+d1=1 a23=a13•q=(a11+2d1)q= 3 4 a32 a12 =q2 aij＞0(i，j=1，2，…n)

，
解得

a   11 = 1 2 d1= 1 2 q= 1 2

．
（Ⅱ）因为ann=a1nqn-1=[a11+(n-1)d1]qn-1=n•(

1

2

)n，
∴Sn=a11+a22+…+ann=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n①

1

2

sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②
由①-②，得

1

2

sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1，
∴sn=2-(n+2)(

1

2

)n．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查计算能力，考查等差数列和等比数列的性质，解题时要注意错位相减法的合理运用．