Question

如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知a₁₂=1，，又设第一行数列的公差为d₁．
（Ⅰ）求出a₁₁，d₁及q；
（Ⅱ）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列a_nn的表达式，并求S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）仔细观察图表，由题设条件知，由此能求出求出a₁₁，d₁及q．
（Ⅱ）由图表中的规律，知=，由此利用错位相减法能求出S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．
解答：（本题满分13分）
解：（Ⅰ）∵9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，
每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，
a₁₂=1，，设第一行数列的公差为d₁．
∴，
解得．
（Ⅱ）因为=，
∴①②
由①-②，得，
∴．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查计算能力，考查等差数列和等比数列的性质，解题时要注意错位相减法的合理运用．