Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圆x2+y2=(

b

2

+c)2(c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

• A．(

  5

  5

  ，

  3

  5

  )
• B．(

  2

  5

  ，

  5

  5

  )
• C．(

  2

  5

  ，

  3

  5

  )
• D．(0，

  5

  5

  )

Answer 1

分析：由题设知

b 2 +c＞b b 2 +c＜a

，由

b

2

+c＞b，得2c＞b，再平方，4c²＞b²，e=

c

a

＞

5

5

；由

b

2

+c＜a，得b+2c＜2a，e＜

3

5

．综上所述，

5

5

＜e＜

3

5

．

解答：解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圆x2+y2=(

b

2

+c)2(c为椭圆的半焦距）的中心都在原点，
且它们有四个交点，
∴圆的半径

b 2 +c＞b b 2 +c＜a

，
由

b

2

+c＞b，得2c＞b，再平方，4c²＞b²，
在椭圆中，a²=b²+c²＜5c²，
∴e=

c

a

＞

5

5

；
由

b

2

+c＜a，得b+2c＜2a，
再平方，b²+4c²+4bc＜4a²，
∴3c²+4bc＜3a²，
∴4bc＜3b²，
∴4c＜3b，
∴16c²＜9b²，
∴16c²＜9a²-9c²，
∴9a²＞25c²，
∴

c2

a2

＜

9

25

，
∴e＜

3

5

．
综上所述，

5

5

＜e＜

3

5

．
故选A．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．