题目内容
（2012•安徽模拟）已知函数f（x）的图象与函数h(x)=x+
+2的图象关于点A（0，1）对称，若g(x)=f(x)+
，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
| 1 |
| x |
| a |
| x |
分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2-h（-x）=x+
，由此可得g（x）=x+
．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．
| 1 |
| x |
| a+1 |
| x |
解答：解：∵函数f（x）的图象与函数h(x)=x+
+2的图象关于点A（0，1）对称，
∴f（x）=2-h（-x）=2-（-x+
+2）=x+
由此可得g(x)=f(x)+
=x+
，对g（x）求导数，得g'（x）=1-
∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，
∴g'（x）=1-
≤0在区间（0，2]恒成立，即
≥1，可得x2≤a+1
∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3
故选A
| 1 |
| x |
∴f（x）=2-h（-x）=2-（-x+
| 1 |
| -x |
| 1 |
| x |
由此可得g(x)=f(x)+
| a |
| x |
| a+1 |
| x |
| a+1 |
| x2 |
∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，
∴g'（x）=1-
| a+1 |
| x2 |
| a+1 |
| x2 |
∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3
故选A
点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．
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