Question

点P是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1右支上一点，F₁，F₂分别是该双曲线的左，右焦点，点M为线段PF₂的中点．若△OMF₂的周长为12，点O为坐标原点，则点P到该双曲线的左准线的距离为（　　）

Answer 1

分析：先利用三角形中线性质计算焦点三角形PF₁F₂的周长，再利用双曲线的第一定义，求得点P到左焦点的距离，最后利用双曲线的第二定义，求得所求距离

解答：解：∵M为线段PF₂的中点，又∵O为F₁F₂的中点，∴OM∥PF₁，且OM=

1

2

|PF₁|
∴△OMF₂的周长为△PF₁F₂的周长的一半
∴△PF₁F₂的周长l=24=PF₁+PF₂+F₁F₂，
∵PF₁-PF₂=6，F₁F₂=10，∴PF₁=10，PF₂=4
∵双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的离心率e=

5

3

，设点P到该双曲线的左准线的距离为d，
∴

PF1

d

=e，即

10

d

=

5

3

，∴d=6
∴P到该双曲线的左准线的距离为6
故选B

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线的两个定义及其应用，焦点三角形中的计算问题，求得点P到左焦点的距离是解决本题的关键，属基础题