Question

已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为________．

Answer 1

分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．
解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：
可得函数f（x）的单调减区间为（-∞，-）和（，π）；
单调增区间为（-，）和（π，+∞），
f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（-）=-和f（π）=0
将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，
相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．
令f（x）=1，得x₁=，x₂=，x₃=，所以β=，α=，
∴β•sin（+α）=•sin=•（-）=
故答案为：
点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．