Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）图象过点P（1，2），且f（x）在点P处的切线与直线y=8x+1平行．
（1）求a，b的值
（2）若f(x)≤m+

5

m

在[-1，1]上恒成立，求正数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）在点P（1，2）处的切线与直线y=8x+1平行建立两个等式关系，f'（1）=8，f（1）=2，解方程组即可求出a与b的值；
（2）将f(x)≤m+

5

m

在[-1，1]上恒成立转化成f（x）max≤m+

5

m

，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，然后解不等式f（x）max≤m+

5

m

，即可求出m的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+6（1分）
由已知得

f(1)=2 f′(1)=8

1+a+b=2 3+2a+b=8

（3分）
解得

a=4 b=-3

∴f（x）=x³+4x²-3x（5分）
（2）由已知只须f（x）max≤m+

5

m

（6分）
f′（x）=3x²+8x-3
令f′（x）＞0解得x＞

1

3

或x＜-3
则f（x）在（

1

3

，+∞）和（-∞，3）上单调递增
令f′（x）＜0，解得-3＜x＜

1

3

则f（x）在（-3，

1

3

）上单调递减（8分）
∴f（x）在[-1，

1

3

]上单调递减
在[

1

3

，1]上单调递增：
f（-1）=-1+4+3=6
f（1）=1+4-3=2
∴f（x）max=6．（10分）
则m+

5

m

≥6，由m＞0，得m²-6m+5≥0，解得m≥5或0＜m≤1（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．