Question

“5、12”汶川地震后，为支持灾区教育，某市有甲、乙、丙等六名教师志愿者，被随机地分到灾区A、B、C、D、E五个不同的乡镇执教，且每个乡镇至少有一名教师．
（Ⅰ）求甲、乙两位教师同时分到A乡镇的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两位教师不在同一个乡镇的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这六名教师中分到A镇的人数，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（I）甲、乙两人同时分到A乡镇，则另外4个人在B、C、D、E，4个位置进行全排列，所有的事件数是从6个人中选2个作为一组，同其他4人共5个元素在5个位置进行排列．
（II）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个乡镇的对立事件是甲、乙两人同时在同一乡镇服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他4个元素进行全排列．
（III）6名志愿者中分到A镇的人数ξ可能的取值是1、2，“ξ=2”是指有两人同时参加分到A乡镇，同第一问类似做出结果．写出分布列．

解答：解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时分到A乡镇为事件E_A，
总事件数是从6个人中选2个作为一组，同其他4人共5个元素在5个位置进行排列C₆²A₅⁵．
满足条件的事件数是A₄⁴，
那么P（E_A）=

A 4 4

C 2 6 A 5 5

=

1

75

，
即甲、乙两人同时分到A乡镇的概率是

1

75

．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一乡镇为事件E，
满足条件的事件数是A₅⁵，
那么P（E）=

A 5 5

C 2 6 A 5 5

=

1

15

，
∴甲、乙两人不在同一乡镇的概率是P（

.

E

）=1-P（E）=

14

15

．
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时分到A乡镇，
则P（ξ=2）=

C 2 6 A 4 4

C 4 6 A 5 5

=

1

5

．
∴P（ξ=1）=1-P（ξ=2）=

4

5

，
∴ξ的分布列是：

ξ	1	2
P	4 5	1 5

．

点评：本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点．属于中档题．