题目内容
已知函数f(x)=e-x(x2+ax+1).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)关于x的方程f(x)=0在区间(-2，1)上有两个不同的实根，求a的取值范围.
解：(Ⅰ)f′(x)=-e-x(x-1)(x+a-1),
①当a=0时,f′(x)≤0在R上成立,
∴f(x)在R上为减函数；
②当a＞0时,在x∈(-∞,1-a)和x∈(1,+∞)时,f′(x)＜0,在x∈(1-a,1)时,f′(x)＞0,∴f(x)的减区间为(-∞,1-a),(1,+∞),增区间为(1-a,1)；
③当a＜0时,在x∈(-∞,1)和x∈(1-a,+∞)时,f′(x)＜0,在x∈(1,1-a)时,f′(x)＞0,∴f(x)的减区间为(-∞,1),(1-a,+∞),增区间为(1,1-a).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(-2,1)上为减函数,∴f(x)=0在(-2,1)上不可能有2个不等实根；
当a＞0时,要使f(x)=0在(-2,1)上有2个不等实根,
需
∴2＜a＜
,又a＞0,
∴当2＜a＜
时,f(x)=0在(-2,1)上有2个不等实根.
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